Gürdal paradoksu :)
 

Elimizde iki sayı var; 1 ve 2





Ben bu sayılardan birini tuttum, diyelim ki siz de tuttunuz. İkimizin tuttuğu sayının aynı olma ihtimali nedir?





Tabii ki 1/2. Sanırım açıklamama gerek bile yok.



Şimdi 3 sayımız var; 1, 2 ve 3





İkimiz de bu üç sayıdan birini tuttuk, tuttuğumuz sayıların eşit olma olasılığı 1/3.



1, 2, 3 ve 4 ayılarından birini tutsaydık, aynı sayıyı seçme ihtimalimiz 1/4 olacaktı.



.................................



Genel olarak 1, 2, 3, 4, 5, ..., n-2, n-1, n şeklinde n tane sayı içinden seçim yapsaydık, aynı sayıyı seçme olasılığımız 1/n olacaktı.



Şimdi beraber sonsuza gidelim.



n sonsuza giderken;



1) Elimizdeki sayı kümesi lim(n→∞){1,2,3,...,n} kümesi olacak ki, bu kümenin pozitif tam sayılar (yani doğal sayılar) kümesi olan {1,2,3,4,5,...} sonsuz kümesine eşit olacağına hiçbir şüphe yoktur.



2) Her n için, aynı sayıyı seçme ihtimalimiz (1/n)'di. Bunun da limitini alırsak n sonsuza giderken aynı sayıyı seçme şansımız lim(n→∞)(1/n)=0 olur.



Buradan çıkarılacak sonuç;



İkimizden, herhangi bir pozitif tamsayı seçmemiz istendiğinde aynı sayıyı seçme ihtimalimiz 0'dır, yani yoktur. Sonuç olarak aynı sayıyı seçmemiz imkansızdır.



Bir tamsayı seçmem istendiğinde ben 10'u seçmiştim. Siz seçmemiş olabilirsiniz ama, bu deney sırasında benimle aynı sayıyı, yani 10'u seçecek birileri mutlaka çıkacaktır. Matematiksel olarak konuşmamak kaydıyla böyle bir ihtimal her zaman vardır. Yani bu ihtimal 0 değildir. Mutlaka bu deney, uygun iki kişi arasında başarıya ulaşacaktır.



Madem ki ihtimal vardır, yani 0 değildir, demek ki limit değerimiz de 0 değildir.



lim(n→∞)(1/n)≠0. !!! Bu nasıl olur?



Şimdi tabii ki sözkonusu denekler insan olunca psikolojik etkenler de yok değil. Örneğin bir tamsayı seçmemiz istendiğinde gidip de kolay kolay 84536421646646466564956452625951685441657148645678 4 gibi bir sayı seçmeyiz. Genelde seçim 100'den küçük olur. (Aslında dünyada bir tamsayı seçin anketi yapmak ilginç olabilir.)



İnsanı bu sebeplerden dolayı, ortadan kaldıralım ve objektif olduğunu bildiğimiz makineleri devreye sokalım.



Bilgisayarda randomize sayı üreten programlardan birisini alalım.



Programdan 1 ve 2 sayılarından birisini seçmesini isteyelim.





1'i seçme ihtimali 1/2 olacaktır.



1, 2 ve 3 sayılarından birini seçmesini istersek, 1'i seçme ihtimali 1/3'tür.



.................................



Genel olarak n herhangi bir büyük sayı olmak üzere; 1, 2, 3, ... n sayılarından birini seçmesini istersek, programın 1'i seçme ihtimali 1/n'dir.



Yine sonsuza gidersek;



Programdan herhangi bir tamsayı seçmesini istediğimizde, 1'i seçme ihtimali lim(n→∞)(1/n)'dir olur ki biz bunun 0 olduğunu kabul ediyoruz. Öyleyse bu program asla ve asla 1 sayısını seçmez.



Denek olarak 2 sayısını alırsak, benzer mantıkla bu program asla 2'yi de seçemez. 3'ü de, 4'ü de seçemez.



Bu mantıkla hareket edersek bu program hiçbir sayıyı seçemez, çünkü seçme ihtimali 0'dır. Ama bir sayı seçecektir, böylece o sayıyı seçme ihtimalinin 0 olmadığını gösterecektir. Bu bir çelişkidir.



lim(n→∞)(1/n)≠0. Yine aynı sonuç!



lim(n→∞)(1/n)=0 olduğunu biliyoruz. O zaman bu örneklerde bir hata olmalı.



Sizce bu örneklerdeki sorun nedir?



Bana sorarsanız, ne yapılan hesaplarda, ne olasılık kuramında, ne de limitte bir sorun yok. Sorun insanda ve bilgisayarda. Siz ne dersiniz?